Question

11．已知x為實數(shù)，則$y=\sqrt{27-3x}+\sqrt{5x-15}$的最大值為$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 易知3≤x≤9，通過求導、判定函數(shù)在定義域上的單調性，進而計算可得結論．

解答 解：∵$y=\sqrt{27-3x}+\sqrt{5x-15}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{27-3x≥0}\\{5x-15≥0}\end{array}\right.$，即3≤x≤9，
又∵y′=$\frac{1}{2}$•（-3）•$\frac{1}{\sqrt{27-3x}}$+$\frac{1}{2}•5•$$\frac{1}{\sqrt{5x-15}}$
=$\frac{5\sqrt{27-3x}-3\sqrt{5x-15}}{2\sqrt{27-3x}•\sqrt{5x-15}}$，
利用y′=0即5$\sqrt{27-3x}$=3$\sqrt{5x-15}$，解得：x=$\frac{27}{4}$，
顯然當3≤x＜$\frac{27}{4}$時，y′＞0；
當$\frac{27}{4}$＜x≤9時，y′＜0；
∴當x=$\frac{27}{4}$時取最大值y_max=$\sqrt{27-3•\frac{27}{4}}$+$\sqrt{5•\frac{27}{4}-15}$=$4\sqrt{3}$，
故答案為：$4\sqrt{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值，利用導數(shù)是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．