Question

9．已知f（x）=$\sqrt{2x-1}$．
（1）求它的反函數(shù)．
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明．
（3）畫出f（x）與f^-1（x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）由y=$\sqrt{2x-1}$解出x，然后將x，y互換即可得出答案，注意自變量的取值范圍；
（2）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性證明；
（3）做出f^-1（x）的圖象，根據(jù)f（x）與f^-1（x）的圖象關(guān)于y=x對稱作出f（x）的圖象．

解答 解：（1）∵y=$\sqrt{2x-1}$，
∴x=$\frac{{y}^{2}+1}{2}$，（y≥0）
∴f^-1（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{2}$，（x≥0）
（2）f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，證明如下：
令g（x）=$\sqrt{x}$，h（x）=2x-1，
則g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，h（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（h（x））=$\sqrt{2x-1}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)．
即f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)．
（3）函數(shù)圖象如下：

點評 本題考查了反函數(shù)解析式的求解，函數(shù)單調(diào)性的證明及函數(shù)圖象變換．