Question

20．如圖，在三棱錐O-ABC中，M，N分別是棱OA、CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG=2GN，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=a，$\overrightarrow{OB}$=b，$\overrightarrow{OC}$=c．
（1）試用a，b，c表示向量$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{OG}$；
（2）若OA=0B=OC=2，且∠AOB=∠BOC=60°，∠AOC=90°，求$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OG}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意結(jié)合平面向量的加減法運(yùn)算求得$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{OG}$；
（2）把（1）中的$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{OG}$利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開(kāi)，再結(jié)合數(shù)量積公式求值．

解答 解：（1）如圖，連接ON，∵M(jìn)，N分別是棱OA、CB的中點(diǎn)，且MG=2GN，
∴$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）$．
$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MG}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）$；
（2）∵OA=0B=OC=2，且∠AOB=∠BOC=60°，∠AOC=90°，
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•\frac{1}{3}（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）$
=$\frac{1}{6}|\overrightarrow{|}^{2}+\frac{1}{6}|\overrightarrow{c}{|}^{2}-\frac{1}{12}|\overrightarrow{a}{|}^{2}$$-\frac{1}{12}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{1}{3}\overrightarrow•\overrightarrow{c}-\frac{1}{12}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$
=$\frac{1}{6}×4+\frac{1}{6}×4-\frac{1}{12}×4-\frac{1}{12}×2×2cos60°+\frac{1}{3}×2×2cos60°$
=1$-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}×2$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量的加減混合運(yùn)算及其幾何意義，考查計(jì)算能力，是中檔題．