Question

17．正三棱臺的上、下底面邊長及高分別為1，2，2，則它的斜高是$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的上、下底面邊長A₁B₁=1，AB=2，高OO₁=2，連結A₁O₁交延長交B₁C₁于E，連結AO并延長，交BC于D，連結DF，過點E作EF⊥AD，交AD于F，由此利用三角形重心定定理和勾股定理能求出正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的斜高．

解答 解：正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的上、下底面邊長A₁B₁=1，AB=2，高OO₁=2，
O，O₁是等邊三角形△ABC、△A₁B₁C₁的重心，
連結A₁O₁交延長交B₁C₁于E，連結AO并延長，交BC于D，
連結DF，過點E作EF⊥AD，交AD于F，
則${O}_{1}E=OF=\frac{\sqrt{3}}{6}$，DF=OD=OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的斜高：
DE=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{3}{36}}$=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查正三棱錐的斜高的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意三棱錐的結構特征和三角形重心的性質的合理運用．