Question

18．楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．在楊輝三角中，第0行的數(shù)1記為C₀⁰，第n行從左到右的n+1個數(shù)分別記為C_n⁰，C_n¹，C_n²，…，C_nⁱ，…，C_nⁿ．如圖是一個11階楊輝三角：
（1）求第15行中從左到右的第3個數(shù)；
（2）試探究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個連續(xù)的數(shù)，使它們的比是3：4：5，并 證明你的結(jié)論；
（3）在第3斜列中，前5個數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數(shù)為35，我們發(fā)現(xiàn)1+3+6+10+15=35，事實上，一般地有這樣的結(jié)論：第m斜列中（從右上到左下）前k個數(shù)之和，一定等于第m+1斜列中第k個數(shù)．試用含有m，k（m，k∈N^*）的數(shù)學(xué)式子表示上述結(jié)論，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)陣中數(shù)的排列規(guī)律，可得第n行的從左到右第m+1個數(shù)為C_n^m，（n∈N，m∈N且m≤n），由此即可算出第15行中從左到右的第3個數(shù)的大小；
（2）假設(shè)在楊輝三角形的某一行能出現(xiàn)三個連續(xù)的數(shù)，使它們的比是3：4：5，由此列兩個關(guān)于n和r的方程組，能夠解出對應(yīng)的n和r的值，說明假設(shè)成立；
（3）根據(jù)題意，所求結(jié)論可表示為C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）．再由組合數(shù)的性質(zhì)：C_m^m+C_m^m-1=C_m+1^m，代入等式的左邊進行化簡整理，即可得到該等式成

解答 解：（1）由題意，得第n行的從左到右第m+1個數(shù)C_n^m，（n∈N，m∈N且m≤n），
∴第15行中從左到右的第3個數(shù)C₁₅²=105；
（2）假設(shè)在楊輝三角形的一行能出現(xiàn)三個相鄰的數(shù)，使得它們的比為3：4：5，
則不妨設(shè)這三個數(shù)為C_n^r-1，C_n^r，C_n^r+1
∴C_n^r-1：C_n^r：C_n^r+1=3：4：5
解得r=27，n=62
故在楊輝三角形的第62行出現(xiàn)三個相鄰的數(shù)，使得它們的比為3：4：5．．
（3）用公式表示為：C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）
證明：左式=C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1
=C_m^m+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+1^m+C_m+1^m-1+…+C_m+k-2^m-1
=…=C_m+k-2^m+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m=右式
即等式C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）成立．

點評 本題給出三角形數(shù)陣，求它的指定項和在m斜列中包含的等式．著重考查了組合數(shù)的性質(zhì)、運用組合數(shù)解決實際應(yīng)用問題、方程與恒等式的處理與證明等知識，屬于中檔題