Question

3．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足c=$\sqrt{3}$，ccosB=（2a-b）cosC．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）求△ABC的周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理結合兩角和差的正弦公式進行化簡即可求角C的大��；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理結合基本不等式的應用求出a+b的范圍即可求△ABC的周長的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵ccosB=（2a-b）cosC=2acosC-bcosC，
∴ccosB+bcosC=2acosC，
即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
即sin（B+C）=2sinAcosC，
則sinA=2sinAcosC，
得cosC=$\frac{1}{2}$，即C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵c²=a²+b²-2abcosCc=$\sqrt{3}$，
∴a²+b²-ab=3，
即（a+b）²=3ab+3，
∵a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²=3ab+3≤$\frac{3}{4}$（a+b）²+3，
得（a+b）²≤12，則a+b≤2$\sqrt{3}$，當且僅當a=b=$\sqrt{3}$時取等號，
∴△ABC的周長的最大值是3$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，結合基本不等式的性質是解決本題的關鍵．綜合性較強．