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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點分別是橢圓的上、下頂點，線段長為，橢圓的離心率為．

（1）求該橢圓的方程；

（2）已知過點的直線與橢圓交于兩點，直線與直線交于點．

①若直線的斜率為，求點的坐標；

②求證點在一條定直線上，并寫出該直線方程．

【答案】（1）；（2）①；②證明詳見解析，直線方程為．

【解析】

（1）由短軸長及離心率和之間的關系求出的值，進而求出橢圓的方程；

（2）①由（1）可得的坐標，設直線的方程，與橢圓聯立求出的坐標，求出直線，再求兩條直線的交點的坐標；

②設直線的方程，與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，求出直線，再求兩條直線的交點的坐標與的坐標的關系，由兩根之和及兩根之積代入可得，解得，即在直線上．

（1），，

又，解得：，

橢圓的方程為；

（2）①由（1）可得：，，設，，

直線方程為，代入橢圓方程整理得：

解得：，，，

直線方程為：；直線方程為，

由得：，，；

②設，，

由整理可得：，

則，，

直線方程為；直線方程為；

由得：，

又，，，

，

，在定直線上.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

(1)求直線的極坐標方程和曲線的參數方程；

(2)若，直線與曲線交于兩點，求的值.

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【題目】已知函數．

（1）當時，求的最小值；

（2）若函數在上存在極值點，求實數的取值范圍．

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【題目】已知曲線的參數方程為（為參數），在同一平面直角坐標系中，將曲線上的點按坐標變換得到曲線，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.設點的極坐標為.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）若過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，求的值.

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【題目】恩格爾系數是食品支出總額占個人消費支出總額的比重，其數值越小說明生活富裕程度越高．統(tǒng)計改革開放40年來我國歷年城鎮(zhèn)和農村居民家庭恩格爾系數，繪制了下面的折線圖．根據該折線圖，下列結論錯誤的是（ ）

A.城鎮(zhèn)居民家庭生活富裕程度不低于農村居民家庭

B.隨著改革開放的不斷深入，城鎮(zhèn)和農村居民家庭生活富裕程度越來越高

C.1996年開始城鎮(zhèn)和農村居民家庭恩格爾系數都低于50%

D.隨著城鄉(xiāng)一體化進程的推進，城鎮(zhèn)和農村居民家庭生活富裕程度差別越來越小

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓過點，離心率為，分別是橢圓的左、右頂點，過右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）記、的面積分別為、，若，求的值；

（3）記直線、的斜率分別為、，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且四個頂點構成的四邊形的面積是.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經過點，且不垂直于軸，直線與橢圓交于，兩點，為的中點，直線與橢圓交于，兩點（是坐標原點），若四邊形的面積為，求直線的方程.

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【題目】如圖,四棱錐中，，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

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【題目】下列說法正確的是（ ）

A. 命題“若，則”的否命題是“若，則”

B. 命題“，”的否定是“，”

C. “在處有極值”是“”的充要條件

D. 命題“若函數有零點，則“或”的逆否命題為真命題

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