Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積是.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且不垂直于軸，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（是坐標(biāo)原點(diǎn)），若四邊形的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）離心率提供與的關(guān)系，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形對(duì)角線互相垂直，列出等量關(guān)系求，的值；

（2）直線經(jīng)過點(diǎn),由直線點(diǎn)斜式方程設(shè)出直線的方程，并設(shè)出直線與橢圓交點(diǎn)、的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理可表示出的中點(diǎn)的坐標(biāo)；由中點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線的方程，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理可求，再利用點(diǎn)到直線距離公式可求點(diǎn)、到直線的距離，由四邊形的面積為可列出等量關(guān)系，最后可求出直線的方程.

解：（1）由題意可得，

解得，，

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，，.

聯(lián)立，整理得，

則，，

從而，故，

直線的斜率為，所以直線的方程為，

即.

聯(lián)立，整理得，

則.

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離也為，

從而.

∵點(diǎn)，在直線的兩側(cè)，

∴，

∴，則，

∵，

∴，

則四邊形的面積，

∵四邊形的面積為，

∴，解得，

故直線的方程為.