Question

2．P是曲線x²-y-lnx=0上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-3的最小距離為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意知，當(dāng)曲線上過(guò)點(diǎn)P的切線和直線x-y-3=0平行時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y-3=0的距離最小，求出曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線x-y-3=0的距離即為所求．

解答 解：點(diǎn)P是曲線f（x）=x²-lnx上任意一點(diǎn)，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線和直線x-y-3=0平行時(shí)，
點(diǎn)P到直線x-y-3=0的距離最小．
直線x-y-3=0的斜率等于1，
由f（x）=x²-lnx，得f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=1，
解得：x=1，或 x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲線f（x）=x²-lnx上和直線x-y-3=0平行的切線經(jīng)過(guò)的切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
點(diǎn)（1，1）到直線x-y-3=0的距離等于$\frac{|1-1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故點(diǎn)P到直線x-y-3=0的最小距離為=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．