Question

11．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（　�。�

• A． 24π
• B． 36π
• C． 48π
• D． 54π

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱柱，把四棱柱放在長方體中，由三視圖求出幾何元素的長度，根據(jù)勾股定理和正弦定理求出外接球的半徑，由球的表面積公式求出答案．

解答 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)四棱柱，把四棱柱放在長方體中，如圖：
長方體的高是2、底面是以3為邊長的正方形，
設(shè)0是四棱柱外接球的球心，O′是上底ABCD的外接圓的圓心，則OO′=1，
由三視圖得AB=DC=2，則BC=$\sqrt{2}$、AD=3$\sqrt{2}$，
∴上底ABCD是等腰梯形，如圖：BE⊥AD，
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，則A=$\frac{π}{4}$，
在△BDE中，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$
=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在△ABD中，由正弦定理得，
2AO′=$\frac{BD}{sinA}$=$\frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{5}$，則AO′=$\sqrt{5}$，
∵△ABD與四邊形ABCD外接于同一個(gè)圓，
∴在△AOO′中，AO²=OO′²+AO′²=6，
∴該幾何體的外接球的表面積S=4π•AO²=24π，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查三視圖求幾何體外接球的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體、以及確定球心的位置是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力．