Question

20．實(shí)數(shù)a取怎樣的值時(shí)，關(guān)于x的方程$\frac{lg\sqrt{{x}^{2}-2}}{lg（x-a）}$=1有解？并求此時(shí)的解．

Answer 1

分析 方程$\frac{lg\sqrt{{x}^{2}-2}}{lg（x-a）}$=1即為lg$\sqrt{{x}^{2}-2}$=lg（x-a），（x≠$±\sqrt{3}$），即有$\sqrt{{x}^{2}-2}$=x-a，（x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，且x≠±$\sqrt{3}$），分別畫出曲線y=$\sqrt{{x}^{2}-2}$和直線y=x-a，通過圖象觀察和直線平移，即可得到a的范圍和方程的解．

解答 解：方程$\frac{lg\sqrt{{x}^{2}-2}}{lg（x-a）}$=1即為
lg$\sqrt{{x}^{2}-2}$=lg（x-a），（x≠$±\sqrt{3}$），
即有$\sqrt{{x}^{2}-2}$=x-a，（x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，且x≠±$\sqrt{3}$）
分別作出曲線y=$\sqrt{{x}^{2}-2}$和直線y=x-a，
由于雙曲線x²-y²=2的漸近線為y=±x，
由直線y=x-a與漸近線平行，則直線y=x-a與曲線最多一個(gè)交點(diǎn)．
通過直線的平移，可得當(dāng)a＜-$\sqrt{2}$且a≠-$\sqrt{3}$-1，
或0＜a＜$\sqrt{2}$時(shí)，曲線y=$\sqrt{{x}^{2}-2}$和直線y=x-a有一個(gè)交點(diǎn)，
由$\sqrt{{x}^{2}-2}$=x-a，平方可解得x=$\frac{2+{a}^{2}}{2a}$．
綜上可得，當(dāng)當(dāng)a＜-$\sqrt{2}$且a≠-$\sqrt{3}$-1，或0＜a＜$\sqrt{2}$時(shí)，
方程有解，且為x=$\frac{2+{a}^{2}}{2a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)和方程的關(guān)系，直線和曲線的位置關(guān)系，掌握雙曲線的漸近線與雙曲線的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．