Question

14．設點A₁、A₂分別為橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的下頂點和上頂點，若在橢圓上存在點P使得k${\;}_{P{A}_{1}}$•k${\;}_{P{A}_{2}}$≥-4，則橢圓C的離心率的取值范圍是$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．

Answer 1

分析 設出P點坐標，根據(jù)k${\;}_{P{A}_{1}}$•k${\;}_{P{A}_{2}}$≥-4，求得-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$≤-$\frac{1}{4}$，并求得e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得e的取值范圍．

解答 解：設P（x₀，y₀）代入橢圓方程得$\frac{{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-1=-\frac{{x}_{0}^{2}}{^{2}}$，即$\frac{{y}_{0}^{2}-{a}^{2}}{{x}_{0}^{2}}=-\frac{{a}^{2}}{^{2}}$，
又k${\;}_{P{A}_{1}}$•k${\;}_{P{A}_{2}}$=-$\frac{{y}_{0}+a}{{x}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}-a}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-{a}^{2}}{{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$≥-4，
∴-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$≤-$\frac{1}{4}$，即1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$≤$\frac{3}{4}$，
∴e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即0＜e≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查由兩點坐標求斜率公式，正確設出P的坐標及離心率e的表達式是求解本題的關鍵，屬于中檔題．