Question

3．已知f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）．
（1）求出函數(shù)f（x）的定義域，并求不等式f（x）＞0的解集．
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明．

Answer 1

分析 （1）利用真數(shù)大于0，可得函數(shù)f（x）的定義域，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域求不等式f（x）＞0的解集．
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷并證明．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}}\right.$解得函數(shù)的定義域為（-1，1），…（2分）
由f（x）＞0即ln（1-x）＞1n（1+x）
由$\left\{{\begin{array}{l}{1-x＞1+x}\\{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}}\right.$解得不等式的解集為（-1，0）…（6分）
（2）判斷知f（x）為奇函數(shù)，…（7分）
證明：設(shè)任意x∈（-1，1），f（-x）=ln（1+x）-ln（1-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的定義域，考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．