Question

9．函數(shù)y=sin²（x+$\frac{π}{4}$）的圖象沿x軸向右平移a個(gè)單位（a＞0），所得圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)a的值最小值時(shí)，函數(shù)f（x）=2cos（x+a）-m在[0，π]內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，$\sqrt{2}$]
• B． [-$\sqrt{2}$，2]
• C． [-2，-$\sqrt{2}$]
• D． （-2，-$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 首先通過三角恒等變換變形呈正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用f（-x）=f（x）求出a的最小值，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵y=sin²（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1-cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$，
∴將函數(shù)y=sin²（x+$\frac{π}{4}$）的圖象沿x軸向右平移a個(gè)單位（a＞0），所得圖象對應(yīng)的解析式為：y=$\frac{1}{2}$sin（2x-2a）+$\frac{1}{2}$，
又∵y=$\frac{1}{2}$sin（2x-2a）+$\frac{1}{2}$為偶函數(shù)，
∴-2a=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：a=-$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵a＞0，
∴a_min=$\frac{π}{4}$，f（x）=2cos（x+$\frac{π}{4}$）-m，x∈[0，π]，
令t=x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，則m=2cost，t∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：-2$＜m≤-\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變形，函數(shù)圖象的平移變換，關(guān)于圖象的對稱問題，考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．