【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面是等邊三角形,且平面平面、E為的中點(diǎn),,,,.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)取中點(diǎn)F,連結(jié),,先證四邊形為平行四邊形,進(jìn)而可得,進(jìn)而可得平面;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面和平面的法向量,利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.
(1)如圖,取中點(diǎn)F,連結(jié),.
因?yàn)?/span>E為中點(diǎn),,所以,.
又因?yàn)?/span>,,所以,,
所以四邊形為平行四邊形.
所以.
又因?yàn)?/span>平面,平面,
所以平面.
(2)取中點(diǎn)O,連結(jié),.
因?yàn)?/span>為等邊三角形,所以.
又因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,
所以平面.
因?yàn)?/span>,,
所以四邊形為平行四邊形.
因?yàn)?/span>,所以.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,.
所以,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則即令,則,
顯然,平面的一個(gè)法向量為,
則即令,則,
所以.
由題知,二面角為銳角,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣3|+|x+2|
(1)求不等式f(x)≤5的解集;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤a﹣|x|在區(qū)間[﹣1,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在口中, ,沿將翻折到的位置,使平面平面.
(1)求證: 平面;
(2)若在線段上有一點(diǎn)滿足,且二面角的大小為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C過(guò)點(diǎn)(4,1),(0,1),(2,3),過(guò)點(diǎn)的直線與圓C交于M,N兩點(diǎn).
(1)若圓:,判斷圓C與圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)(點(diǎn)與、不重合),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
①存在點(diǎn),使得平面平面;
②存在點(diǎn),使得平面;
③若的面積為,則;
④若、分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點(diǎn),使得.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)在正方體的棱上(不含端點(diǎn)),給出下列五個(gè)命題:
①過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線,都是異面直線;
②過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線,都相交;
③過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線,都垂直;
④過(guò)點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與直線,都相交;
⑤過(guò)點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與直線,都平行;
其中真命題是____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為A,且橢圓E經(jīng)過(guò)與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),且直線AC和直線AD的斜率之積為.
(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求證:直線l過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,求的值;
(2)若,且函數(shù)的值域?yàn)?/span>,求的最小值.
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