Question

13．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中點，E，F(xiàn)分別是A₁A，C₁C上一點，且AE=CF=2a．
（1）求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）求證：BE∥平面ADF．

Answer 1

分析 （1）通過證明AD⊥平面B₁BCC₁得出AD⊥B₁F，通過Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁得出B₁F⊥FD，從而B₁F⊥平面ADF；
（2）連EF，EC，設(shè)EC∩AF=M，連DM，利用中位線定理得出BE∥DM，從而有BE∥平面ADF．

解答 證明：（1）∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC．
∵B₁B⊥底面ABC，AD?底面ABC，
∴AD⊥B₁B．又BC∩B₁B=B，BC，B₁B?平面B₁BCC₁，
∴AD⊥平面B₁BCC₁．∵B₁F?平面B₁BCC₁，
∴AD⊥B₁F．
在矩形B₁BCC₁中，∵C₁F=CD=a，B₁C₁=CF=2a，
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁．
∴∠CFD=∠C₁B₁F．∴∠B₁FD=90°．∴B₁F⊥FD．
又∵AD∩FD=D，AD，F(xiàn)D?平面AFD，
∴B₁F⊥平面AFD．
（2）連EF，EC，設(shè)EC∩AF=M，連DM，
∵AE=CF=2a，AE∥CF，
∴四邊形AEFC為平行四邊形，
∴M為EC中點．又D為BC中點，
∴MD∥BE．又MD?平面ADF，BE?平面ADF，
∴BE∥平面ADF．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，熟練掌握判定定理，構(gòu)造平行線或垂線是證明的關(guān)鍵．