Question

18．已知向量$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）=0，|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=1，且|${\overrightarrow c$-$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b}$|=1，則|${\overrightarrow c}$|的最大值為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 設(shè)向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B 向量$\overrightarrow c$對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，利用向量的幾何意義得到坐標(biāo)運(yùn)算得到由$|{\overrightarrow c-\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$=1知點(diǎn)C在以B為圓心，半徑為1的圓上，由最大距離為d+r即可得到．

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B 向量$\overrightarrow c$對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，
由$|{\overrightarrow c-\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$=1知點(diǎn)C在以B為圓心，半徑為1的圓上．
∴$|{\overrightarrow c}|$_max=|OB|+1=$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$+1
∵$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$²=$|{\overrightarrow a}|$²+$4|{\overrightarrow b}|$²+4$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，
又∵$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）=0，
∴$|{\overrightarrow a}|$²+2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0
∴2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-1，
∴4$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-2，
∴$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$²=1+4-2=3，
∴$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$=$\sqrt{3}$
∴$|{\overrightarrow c}|$_max=$\sqrt{3}+1$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義及向量的幾何意義，考查運(yùn)用圓的方程解決最值問題是解題的關(guān)鍵．