Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4）．
（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）把圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合條件，利用直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系求出圓N的圓心和半徑，可得圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）根據(jù)題意設(shè)出直線l的方程為y=2x+m，根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)求出m的值，可得直線l的方程．

解答 解：（1）圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-6）²+（y-7）²=25，所以圓心M（6，7），半徑為5，
由圓心N在直線x=6上，可設(shè)N（6，y₀），∵圓N與x軸相切，與圓M外切，
所以0＜y₀＜7，于是圓N的半徑為y₀，從而7-y₀=5+y₀，解得y₀=1．
因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-6）²+（y-1）²=1． 
（2）因?yàn)橹本�l∥OA，所以直線l的斜率為$\frac{4-0}{2-0}=2$．
設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，
則圓心M到直線l的距離$d=\frac{{|{2×6-7+m}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{m+5}|}}{{\sqrt{5}}}$．
因?yàn)?BC=OA=\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}$，而$M{C^2}={d^2}+（\frac{BC}{2}{）^2}$，
∴$25=\frac{{{{（{m+5}）}^2}}}{5}+5$，解得m=5或m=-15．
故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．