Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-1，g（x）=ln（x+1），直線l與y=f（x）的圖象相切，與y=g（x）的圖象也相切，則直線的l方程是y=x．

Answer 1

分析 由已知函數(shù)解析式畫出圖象，可得兩函數(shù)有唯一交點(diǎn)O（0，0），求出兩函數(shù)在O（0，0）處的切線都是y=x，則答案可求．

解答 解：f（x）=e^x-1與g（x）=ln（x+1）互為反函數(shù)，其圖象如圖，

其公共點(diǎn)為O（0，0），
由f（x）=e^x-1，得f′（x）=e^x，
∴f′（0）=1，
曲線f（x）=e^x-1在O（0，0）處的切線方程為y=x，
由g（x）=ln（x+1），得g′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
∴g′（0）=1，
曲線g（x）=ln（x+1）在O（0，0）處的切線方程為y=x，
∴曲線f（x）=e^x-1與曲線g（x）=ln（x+1）的公切線為y=x．
故答案為：y=x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．