Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2bx-

5

12

，若對(duì)于?x₁∈[0，1]，對(duì)于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，并求導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x-1，求出f（1）=-2，f′（1）=0，即可得到f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a討論，令f'（x）＜0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；令f'（x）＞0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，求得函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=-

2

3

；對(duì)于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出g（x）=x²-2bx-

5

12

，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

，
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x-1，
∴f（1）=-2，f′（x）=

1

x

-1，
∴f′（1）=0，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y=-2；
（Ⅱ）∵f（x）=lnx-ax-1+

1-a

x

的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

=

(x-1)(-ax+1-a)

x2

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，可得x＞1，f′（x）＜0，可得0＜x＜1．
即有增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
f′（x）=0，可得x=1或

1-a

a

，
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，1＜

1-a

a

，f′（x）＞0可得1＜x＜

1-a

a

，
f′（x）＜0可得0＜x＜1或x＞

1-a

a

，
即有增區(qū)間為（1，

1-a

a

），減區(qū)間為（0，1），（

1-a

a

，+∞）；
③當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′（x）＜0恒成立，則減區(qū)間為（0，+∞）；
④當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，

1-a

a

＜1，f′（x）＞0可得

1-a

a

＜x＜1，
f′（x）＜0可得0＜x＜

1-a

a

或x＞1，
即有增區(qū)間為（

1-a

a

，1），減區(qū)間為（0，

1-a

a

），（1，+∞）；
⑤當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）＜0，可得x＞1，f′（x）＞0，可得0＜x＜1．
即有增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅲ）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在（1，2）上為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=-

2

3

，
若對(duì)于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，
等價(jià)于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值-

2

3

（*）         
又g（x）=x²-2bx-

5

12

=（x-b）²-b²-

5

12

，x∈[0，1]，
①當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）在[0，1]上為增函數(shù)，g（x）_min=g（0）=-

5

12

＞-

2

3

與（*）矛盾．
②當(dāng)0≤b≤1時(shí)，g（x）_min=g（b）=-b²-

5

12

，由-b²-

5

12

≤-

2

3

及0≤b≤1得，

1

2

≤b≤1．
③當(dāng)b＞1時(shí)，g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，g（x）_min=g（1）=

7

12

-2b＜-

17

12

＜-

2

3

，
此時(shí)b＞1．
綜上，b的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將任意的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．