Question

17．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x（x≥0）\\-{x^2}+mx（x＜0）\end{array}\right.$，則f（x-1）＜f（mx）解集為（-1，+∞）．

Answer 1

分析 先根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，便有f（-1）=-f（1），所以可求出m=2，所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}+mx}&{x＜0}\end{array}\right.$，而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可得出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．所以由f（x-1）＜f（2x）便得到x-1＜2x，這樣便解得x＞-1．

解答 解：f（x）是R上的奇函數(shù)；
∴f（-1）=-f（1）；
∴-1-m=-3；
∴m=2；
容易判斷二次函數(shù)x²+2x在[0，+∞）單調(diào)遞增，-x²+2x在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
∴x²+2x≥0，-x²+2x＜0；
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}+2x}&{x＜0}\end{array}\right.$在R上單調(diào)遞增；
∴由f（x-1）＜f（2x）得，x-1＜2x；
∴x＞-1；
∴f（x-1）＜f（mx）的解集為（-1，+∞）．
故答案為：（-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用．