Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，且S_n=n²-3n+4．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，記數(shù)列{b_n}的前n項和記為T_n，求證$\frac{2}{3}$≤T_n＜$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分n=1及n≥2（此時a_n=S_n-S_n-1）兩種情況考慮即可，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得T_n的表達式，再寫出$\frac{1}{3}{T}_{n}$的表達式，兩者相減即得結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-3n+4-（n-1）²+3（n-1）-4=2n-4，
故${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2}&{n=1}\\{2n-4}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}}&{n=1}\\{\frac{2n-4}{{3}^{n}}}&{n≥2}\end{array}\right.$，其中${T}_{1}=\frac{2}{3}$，
當n≥2時，T_n=$\frac{2}{3}+\frac{0}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2n-4}{{3}^{n}}$        …①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{0}{{3}^{3}}+\frac{2}{{3}^{4}}+…+\frac{2n-6}{{3}^{n}}+\frac{2n-4}{{3}^{n+1}}$       …②
①-②得：$\frac{2}{3}{T}_{n}=\frac{2}{3}-\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+\frac{2}{{3}^{4}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}-\frac{2n-4}{{3}^{n+1}}$，
所以T_n=$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}-\frac{n-2}{{3}^{n}}$
=$\frac{2}{3}+\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n-2}{{3}^{n}}$
=$\frac{5}{6}-\frac{2n-1}{2×{3}^{n}}$    （n≥2），
由于b_n≥0，所以$\frac{2}{3}$≤Tn＜$\frac{5}{6}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，運用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．