Question

7．拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（0，-1）作直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A，B，以AF，BF為鄰邊作平行四邊形FARB，求頂點(diǎn)R的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)直線：AB：y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x，y），求出F的坐標(biāo)，利用AB和RF是平行四邊形的對(duì)角線，對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)重合，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，推出k的范圍，整理出R的軌跡方程即可．

解答 解：設(shè)直線：AB：y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x，y），由題意F（0，1）．
由 y=kx-1，x²=4y，
可得x²=4kx-4．
∴x₁+x₂=4k．
∵AB和RF是平行四邊形的對(duì)角線，
∴x₁+x₂=x，y₁+y₂=y+1．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=4k²-2，
∴x=4k y=4k²-3，消去k，可得得x²=4（y+3）．
又∵直線和拋物線交于不同兩點(diǎn)，
∴△=16k²-16＞0，|k|＞1
∴|x|＞4
所以x²=4（y+3），（|x|＞4）

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查曲線軌跡方程的求法，注意挖掘題目的條件，推出直線的斜率的范圍（這是容易疏忽的地方），平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)的特征，是解題的關(guān)鍵．