Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\sqrt{3}$，實(shí)軸為AB，平行于AB的直線與雙曲線C交于點(diǎn)M，N，則直線AM，AN的斜率之積為-2．

Answer 1

分析 利用雙曲線的離心率求出a，b關(guān)系，設(shè)出M，N，利用斜率公式，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\sqrt{3}$，可得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
設(shè)點(diǎn)M（x，y），則N（-x，y）則$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，A（-a，0），B（a，0）；
可得${y}^{2}=\frac{^{2}（{x}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，所以k_AM•k_AN=$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{-x+a}$=-$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．