Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=511，{a_6}=-\frac{1}{2}$，且數(shù)列{a_n}的每一項加上1后成為等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}；
（Ⅱ）令b_n=|log₂（a_n+1）|，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列可知a₁+1=512、${a_6}+1=\frac{1}{2}=512×{q^5}$，進而可知數(shù)列{a_n+1}是以512為首項、$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，計算即得結論；
（II）通過（I）可知b_n=|11-2n|，分n≤5和n≥6兩種情況討論即可．

解答 解：（I）由題意，數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，設公比為q，
則a₁+1=512，${a_6}+1=\frac{1}{2}=512×{q^5}$，
∴$q=\frac{1}{4}$，即數(shù)列{a_n+1}是以512為首項、$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，
所以${a_n}+1={2^{11-2n}}$，${a_n}={2^{11-2n}}-1$；
（II）由（I）可知b_n=|11-2n|，
當$n≤5時，{T_n}=10n-{n^2}$，
當$n≥6時，{T_n}={n^2}-10n+50$，
故${T_n}=\left\{\begin{array}{l}10n-{n^2}，n≤5\\{n^2}-10n+50，n≥6\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．