Question

13．設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別l₁，l₂，右焦點F．若點F關于直線l₁的對稱點M在l₂上則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 不妨設l₁為y=$\frac{a}$x，l₂為y=-$\frac{a}$x，設出對稱點的坐標，根據(jù)中點坐標公式和斜率公式即可求出a與b的關系，再根據(jù)離心率公式即可求出．

解答 解：l₁，l₂分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線，
不妨設l₁為y=$\frac{a}$x，l₂為y=-$\frac{a}$x，
由右焦點關于l₁的對稱點l₂在上，
設右焦點F關于l₁的對稱點為M（m，-$\frac{bm}{a}$），
右焦點F坐標為（c，0），
MF中點坐標為（$\frac{m+c}{2}$，-$\frac{bm}{2a}$），
可得-$\frac{bm}{2a}$=$\frac{m+c}{2}$•$\frac{a}$，
解得m=-$\frac{1}{2}$c，
即有M（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{bc}{2a}$），
可得MF的斜率為$\frac{\frac{bc}{2a}}{-\frac{1}{2}c-c}$=-$\frac{3a}$，
即有-$\frac{3a}$•$\frac{a}$=-1，
可得b²=3a²，
即c²=a²+b²=4a²，
則c=2a，
可得e=$\frac{c}{a}$=2，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率和漸近線方程，以及點的對稱問題，考查運算能力，屬于中檔題．