Question

在銳角△ABC中，已知cos²A+cos²B+cos²C=sin²B，求證：tanA，tanB，tanC成等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：已知等式兩邊加上cos²B變形，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，兩邊乘以2變形后，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，積化和差后提取公因式變形，根據(jù)cosB不為0得到2cosAcosC=cosB，兩邊乘以sinB，再除以cosB，將sinB化為sin（A+C），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得證．

解答： 證明：已知等式變形得：cos²A+2cos²B+cos²C=sin²B+cos²B=1，
即2cos²A+4cos²B+2cos²C=2，
變形得：2cos²A-1+2cos²C-1+2cos²B=-2cos²B，
即cos2A+cos2C+2cos²（A+C）=-2cos²B，
變形得：2cos（A+C）cos（A-C）+2cos²（A+C）=-2cos²B，
即2cos（A+C）[cos（A-C）+cos（A+C）]=-2cos²B，
整理得：-4cosBcosAcosC=-2cos²B，
∵cosB≠0，
∴2cosAcosC=cosB，
∴2sinBcosAcosC=sinBcosB，
兩邊除以cosB得：2tanBcosAcosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
兩邊除以cosAcosC得：2tanB=tanA+tanC，
則tanA，tanB，tanC成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，積化和差公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列掌握公式是解本題的關(guān)鍵．