Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+1

x+2

，a∈Z，是否存在整數(shù)a，使函數(shù)f（x）在x∈[-1，+∞）上遞減，并且f（x）不恒為負？若存在，找出一個滿足條件的a，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)x）在x∈[-1，+∞）上遞減求出a的取值范圍，然后根據(jù)條件驗證條件f（x）不恒為負是否成立即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=

ax+1

x+2

=

a(x+2)+1-2a

x+2

=a+

1-2a

x+2

，
∴要使函數(shù)f（x）在x∈[-1，+∞）上遞減，
則1-2a＞0，此時a＜

1

2

，
要使f（x）不恒為負，
即f（x）=

ax+1

x+2

≥0在∈[-1，+∞）有解，
當a=0時，f（x）=

ax+1

x+2

=

1

x+2

，此時f（0）=

1

2

＞0，
滿足f（x）不恒為負，
∴當a=0時，滿足條件．

點評：本題主要考查分式函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分子常數(shù)化是解決分式函數(shù)問題的基本方法．