Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=sinx•cosx-\sqrt{3}cos（{π+x}）•cosx（{x∈R}）$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象向右、向上分別平移$\frac{π}{4}、\frac{{\sqrt{3}}}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）在$（{0，\frac{π}{4}}]$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式，兩角和差的三角公式將f（x）化簡(jiǎn)為Asin（ωx+φ）的形式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的最小正周期．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，求得y=g（x）在$（{0，\frac{π}{4}}]$的最大值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{cos2x+1}）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由題意可得$g（x）=sin[{2（{x-\frac{π}{4}}）+\frac{π}{3}}]+\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\sqrt{3}$，
∵$0＜x≤\frac{π}{4}$，∴$-\frac{π}{6}＜2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$，∴$-\frac{1}{2}＜sin（{2x-\frac{π}{6}}）≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴g（x）的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\sqrt{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二倍角公式，誘導(dǎo)公式，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．