Question

1．（1）已知M=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$，A=M²，曲線C：x²+2y²=1在矩陣A^-1的作用下變換為曲線C₁，求C₁的方程；
（2）已知圓C：x²+y²=1在矩陣A=$（\begin{array}{l}{a}&{0}\\{0}&\end{array}）$（a＞0，b＞0）對應的交換作用下變?yōu)闄E圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求a，b的值．
（3）已知矩陣A=$（\begin{array}{l}{1}&{1}\\{2}&{1}\end{array}）$，向量$\overrightarrow{β}$=$（\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}）$，求$\overrightarrow{α}$，使得A²$\overrightarrow{α}$=$\overrightarrow{β}$；
（4）在平面直角坐標系中．已知點A（0，0），B（-2，0），C（-2，1），設k為非零實數，矩陣M=$（\begin{array}{l}{k}&{0}\\{0}&{1}\end{array}）$，N=$（\begin{array}{l}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{array}）$，點A，B，C在矩陣MN對應的變換下得到的點分別為A₁，B₁，C₁，△A₁B₁C₁的面積是△ABC的面積的2倍，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出A^-1，確定坐標之間的關系，即可求C₁的方程；
（2）設P（x，y）為圓C上的任意一點，在矩陣A對應的變換下變?yōu)榱硪粋�點P'（x'，y'），代入橢圓方程，對照圓的方程即可求出a和b的值．
（3）A²=$（\begin{array}{l}{1}&{1}\\{2}&{1}\end{array}）$，利用條件建立方程，即可得出結論；
（4）先計算MN，再求點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點分別為A₁、B₁、C₁的坐標，利用△A₁B₁C₁的面積是△ABC面積的2倍，可求k的值．

解答 解：（1）由題意，A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{1}\end{array}）$=$[\begin{array}{l}{1}&{5}\\{0}&{1}\end{array}]$，行列式為1，A^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{-5}&{1}\end{array}]$，
設曲線C₁上的點為（x，y），曲線C：x²+2y²=1的點為（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{a=x}\\{-5a+b=y}\end{array}\right.$，∴a=x，b=5x+y，
∴x²+2（5x+y）²=1；
（2）設P（x，y）為圓C上的任意一點，
在矩陣A對應的變換下變?yōu)榱硪粋�點P'（x'，y'），
則$[\begin{array}{l}{x′}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}&{0}\\{0}&\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax}\\{y′=by}\end{array}\right.$
又因為點P'（x'，y'）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，所以$\frac{{a}^{2}{x}^{2}}{9}+\frac{^{2}{y}^{2}}{4}=1$．
由已知條件可知，x²+y²=1，所以 a²=9，b²=4．
因為 a＞0，b＞0，
所以 a=3，b=2；
（3）A²=$（\begin{array}{l}{1}&{1}\\{2}&{1}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{1}&{1}\\{2}&{1}\end{array}）$=$[\begin{array}{l}{3}&{2}\\{4}&{3}\end{array}]$，
設$\overrightarrow{α}$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，則$[\begin{array}{l}{3}&{2}\\{4}&{3}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]$
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y=1}\\{4x+3y=2}\end{array}\right.$，解得：x=-1，y=2，
∴$\overrightarrow{α}$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{2}\end{array}]$；
（4）由題設得MN=$[\begin{array}{l}{0}&{k}\\{1}&{0}\end{array}]$
由$[\begin{array}{l}{0}&{k}\\{1}&{0}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{0}&{-2}&{-2}\\{0}&{0}&{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{0}&{k}\\{0}&{-2}&{-2}\end{array}]$，
可知A₁（0，0）、B₁（0，-2）、C₁（k，-2）
計算得△ABC面積的面積是1，△A₁B₁C₁的面積是k的絕對值，則由題設可知：k的值為2或-2．

點評 本題主要考查了矩陣變換與性質，同時考查了計算能力，屬于中檔題．