Question

11．若[x]表示不大于的最大整數(shù)，則使得[log₂1]+[log₂2]+…+[log₂n]≥2008成立的正整數(shù)n的最小值是314．

Answer 1

分析 由題目給出的定義，逐步分析得到不等式左邊的規(guī)律，結(jié)合[log₂（2^m+1-1）]=m，嘗試在m取具體值時(shí)由錯(cuò)位相減法求出不等式左邊的和，需要求得的和小于2008，同時(shí)m+1時(shí)左邊的和大于等于2008，然后計(jì)算滿足使得[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂n]≥2008成立的正整數(shù)n的最小值．

解答 解：[log₂1]=0，
[log₂2]=[log₂3]=1，
[log₂2²]=[log₂（2²+1）]=…=[log₂（2³-1）]=2，
…
[log₂2^m]=[log₂（2^m+1）]=…=[log₂（2^m+1-1）]=m．
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+log₂（2^m+1-1）]
=0+1×2+2×2²+…+m•2^m=S．
當(dāng)m=7時(shí)，S=1538，當(dāng)m=8時(shí)，S≥2008，
∴n＞2⁸-1=255，
當(dāng)255＜n＜2⁹-1時(shí)，[log₂（2⁹-1）]=8，
由$\frac{1}{8}$（2008-1538）=58.75．
∴n＞255+58.75=313.75．
∴正整數(shù)n的最小值是314．
故答案為：314．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)運(yùn)算規(guī)律的探究，考查了學(xué)生的靈活處理問題的能力和進(jìn)行繁雜運(yùn)算的能力，是有一定難度的題目．