Question

17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，角B為銳角，且sin²B=8sinA•sinC，則$\frac{a+c}$的取值范圍為$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）$．

Answer 1

分析 由正弦定理可得：8ac=b²，解得：$\frac{^{2}}{ac}$=8，結(jié)合余弦定理可得：（a+c）²=10ac+2accosB，從而可求$\frac{a+c}$=$\sqrt{\frac{4}{5+cosB}}$，由cosB∈（0，1），即可解得$\frac{a+c}$的取值范圍．

解答 解：在△ABC中，∵角B為銳角，且8sinAsinC=sin²B，
∴由正弦定理可得：8ac=b²，解得：$\frac{^{2}}{ac}$=8，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-2accosB=8ac，整理得：（a+c）²=10ac+2accosB，
∴$\frac{a+c}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{（a+c）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{10ac+2accosB}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{ac（10+2cosB）}}$=$\sqrt{\frac{4}{5+cosB}}$，
∵角B為銳角，∴cosB∈（0，1），$\frac{4}{5+cosB}$∈（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$），
∴$\frac{a+c}$∈$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）$．
故答案為：$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．