Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（1）確定方程f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；
（2）我們把與兩條曲線都相切的直線叫作這兩條曲線的公切線，試確定曲線y=f（x），y=g（x）公切線的條數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先化簡(jiǎn)方程得：lnx-1=$\frac{2}{x-1}$．分別作出y=lnx-1和y=$\frac{2}{x-1}$的函數(shù)圖象，通過圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷方程的解的個(gè)數(shù)；
（2）先確定曲線y=f（x），y=g（x）公切線的條數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并求出兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，化簡(jiǎn)后利用（1）的結(jié)論即可證明．

解答 解：（1）由題意得lnx=$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，即lnx-1=$\frac{2}{x-1}$．
分別作出y=lnx-1和y=$\frac{2}{x-1}$的函數(shù)圖象，由圖象可知：y=lnx-1和y=$\frac{2}{x-1}$的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴方程f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$有兩個(gè)實(shí)根；
（2）解：曲線y=f（x），y=g（x）公切線的條數(shù)是2，證明如下：
設(shè)公切線與f（x）=lnx，g（x）=e^x的切點(diǎn)分別為（m，lnm），（n，eⁿ），m≠n，
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=e^x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}={e}^{n}}\\{\frac{lnm-{e}^{n}}{m-n}=\frac{1}{m}}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)得（m-1）lnm=m+1，
當(dāng)m=1時(shí)，（m-1）lnm=m+1不成立；
當(dāng)m≠1時(shí)，（m-1）lnm=m+1化為lnm=$\frac{m+1}{m-1}$，
由（1）可知，方程lnm=$\frac{m+1}{m-1}$有兩個(gè)實(shí)根，
∴曲線y=f（x），y=g（x）公切線的條數(shù)是2條．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)公式和法則，考查方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，方程根的個(gè)數(shù)判斷，作出函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．