Question

2．已知函數f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（1）確定方程f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$實數根的個數；
（2）我們把與兩條曲線都相切的直線叫作這兩條曲線的公切線，試確定曲線y=f（x），y=g（x）公切線的條數，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）先化簡方程得：lnx-1=$\frac{2}{x-1}$．分別作出y=lnx-1和y=$\frac{2}{x-1}$的函數圖象，通過圖象的交點個數來判斷方程的解的個數；
（2）先確定曲線y=f（x），y=g（x）公切線的條數，設出切點坐標并求出兩個函數導數，根據導數的幾何意義列出方程組，化簡后利用（1）的結論即可證明．

解答 解：（1）由題意得lnx=$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，即lnx-1=$\frac{2}{x-1}$．
分別作出y=lnx-1和y=$\frac{2}{x-1}$的函數圖象，由圖象可知：y=lnx-1和y=$\frac{2}{x-1}$的函數圖象有兩個交點，
∴方程f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$有兩個實根；
（2）解：曲線y=f（x），y=g（x）公切線的條數是2，證明如下：
設公切線與f（x）=lnx，g（x）=e^x的切點分別為（m，lnm），（n，eⁿ），m≠n，
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=e^x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}={e}^{n}}\\{\frac{lnm-{e}^{n}}{m-n}=\frac{1}{m}}\end{array}\right.$，化簡得（m-1）lnm=m+1，
當m=1時，（m-1）lnm=m+1不成立；
當m≠1時，（m-1）lnm=m+1化為lnm=$\frac{m+1}{m-1}$，
由（1）可知，方程lnm=$\frac{m+1}{m-1}$有兩個實根，
∴曲線y=f（x），y=g（x）公切線的條數是2條．

點評 本題考查導數的幾何意義，求導公式和法則，考查方程思想、數形結合思想，方程根的個數判斷，作出函數圖象是解題關鍵．