Question

18．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，它的前n項和為S_n，滿足：S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），且a₂，a₄，a₉，成等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}通項公式為a_n=3n-2．

Answer 1

分析 由已知遞推式可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，由于數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，可得a_n-a_n-1=3，利用等差數(shù)列的通項公式可得：a_n=3n-2，或a_n=3n-1．
在驗證是否滿足a₂，a₄，a₉，成等比數(shù)列，即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），
∴6S_n=${a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2$，
∴當n=1時，6a₁=${a}_{1}^{2}+3{a}_{1}$+2，解得a₁=1或2．
當n≥2時，6S_n-6S_n-1=${a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2$-$（{a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}+2）$，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=3，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為a₁，公差為3，
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2，或a_n=2+3（n-1）=3n-1．
∵a₂，a₄，a₉，成等比數(shù)列，
∴${a}_{4}^{2}={a}_{2}{a}_{9}$．
當a_n=3n-2，時，10²=4×25，滿足條件；
當a_n=3n-1，時，11²≠5×26，不滿足條件．
因此a_n=3n-2．
故答案為：3n-2．

點評 本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．