Question

6．如圖，一條直線上有三點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)C在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，點(diǎn)P是此直線外一點(diǎn)，設(shè)∠APC=α，∠BPC=β．求證：$\frac{sin（α+β）}{PC}=\frac{sinα}{PB}+\frac{sinβ}{PA}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CE∥PA，交PB于點(diǎn)E，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠PCE=∠APC，∠PEC=π-（α+β），利用正弦定理列出關(guān)系式，再結(jié)合比例性質(zhì)，即可證明結(jié)論．

解答 證明：過點(diǎn)C作CE∥PA，交PB于點(diǎn)E，則∠PCE=α，∠PEC=π-（α+β），
則在△PCE中，由正弦定理得：$\frac{sin∠PEC}{PC}$=$\frac{sin∠PCE}{PE}$=$\frac{sin∠BPC}{CE}$，
即$\frac{sin[π-（α+β）]}{PC}$=$\frac{sinα}{PE}$=$\frac{sinβ}{CE}$，
∴$\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{PA•sinα}{PA•PE}$=$\frac{PB•sinβ}{PB•CE}$，
利用比例性質(zhì)，有：$\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{PAsinα+PBsinβ}{PA•PE+PB•CE}$，
∵CE∥PA，
∴CE：PA=BE：PB，
∴PA•PE+PB•CE=PA•PE+PA•BE=PA•（PE+BE）=PA•PB，
則$\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{sinα}{PB}$+$\frac{sinβ}{PA}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，比例的性質(zhì)，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．．