Question

16．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是相互垂直的單位向量，且（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\sqrt{3}\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=1，|$\overrightarrow{c}$|的最大值為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算得到（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=2，結(jié)合圖形即可求出最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是相互垂直的單位向量，
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），
設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$=（1-x，-y），$\sqrt{3}\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$=（-x，$\sqrt{3}$-y），
∵（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\sqrt{3}\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=1，
∴-（1-x）x-y（$\sqrt{3}$-y）=1，
∴x²-x+y²-$\sqrt{3}$y=1，
∴（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=2，
∴向量$\overrightarrow{c}$的軌跡為以（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑的圓，
∴圓心到原點(diǎn)的距離為1，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最大值為1+$\sqrt{2}$
故答案為：1+$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題．