Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點（-2，3）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點作兩條相互垂直的直線l，m，且直線l交橢圓C于M、N兩點，直線m交橢圓C于P、Q兩點，求|MN|+|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點（-2，3），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）橢圓C的右焦點F₁（2，0），當直線l，m中有一條直線的斜率不存在時，|MN|+|PQ|=14，當直線l的斜率存在且不為0時，設直線l的方程為y=k（x-2），聯(lián)立方程，得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理，得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-48=0，由弦長公式求出|MN|=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，設直線m的方程為y=-$\frac{1}{k}（x-2）$，同理得|PQ|=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，由此利用換元法能求出|MN|+|PQ|的最小值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點（-2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=16，b²=12，c²=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）由（1）知橢圓C的右焦點F₁（2，0），
當直線l，m中有一條直線的斜率不存在時，|MN|+|PQ|=6+8=14，
當直線l的斜率存在且不為0時，設直線l的方程為y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立方程，得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理，得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-48=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$
設直線m的方程為y=-$\frac{1}{k}（x-2）$，同理得|PQ|=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴|MN|+|PQ|=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{24（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$=$\frac{168（{k}^{2}+1）^{2}}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{\;}2）}$，
設t=k²+1，則t＞1，
∴|MN|+|PQ|=$\frac{168}{12+\frac{t-1}{{t}^{2}}}$，
∵t＞1，∴0＜$\frac{t-1}{{t}^{2}}$$≤\frac{1}{4}$，
∴|MN|+|PQ|的最小值為$\frac{96}{7}$．

點評 本題考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系、弦長的問題，意在考查學生的邏輯分析能力以及推理運算能力．