Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x|+a．
（1）若不等式f（x）≥0的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若方程f（x）=x有三個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得即 g（x）＜-a恒成立，作出函數(shù)g（x）的圖象，求得函數(shù)g（x）的最大值為g（x）_max=1，可得-a＞1，∴從而求得a的范圍．
（2）在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)g（x）=|x+1|-|x|圖象和y=x的圖象，由題意可知，把函數(shù)y=g（x）的圖象向下平移1個單位以內(nèi)（不包括1個單位），則它與y=x的圖象始終有3個交點，從而得到a的范圍．

解答 解：（1）令g（x）=|x+1|-|x|，則由題意可得f（x）≥0的解集為∅，即g（x）≥-a的解集為∅，
即 g（x）＜-a恒成立．
∵$g（x）=|x+1|-|x|=\left\{\begin{array}{l}-1，x＜-1\\ 2x+1，-1≤x＜0\\ 1，x≥0\end{array}\right.$，作出函數(shù)g（x）的圖象，
由圖可知，函數(shù)g（x）的最小值為g（x）_min=-1；函數(shù)g（x）的最大值為g（x）_max=1．
∴-a＞1，∴a＜-1，
綜上，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）．
（2）在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)g（x）=|x+1|-|x|圖象和y=x的圖象如下圖所示，由題意可知，
把函數(shù)y=g（x）的圖象向下平移1個單位以內(nèi)（不包括1個單位）與y=x的圖象始終有3個交點，
從而-1＜a＜0．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于中檔題．