Question

20．已知G點(diǎn)為△ABC的重心，設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且滿足$\overrightarrow{BG}$⊥$\overrightarrow{CG}$，若$\frac{a^2}{cosA}=λbc$則實(shí)數(shù)λ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，連接AG，延長(zhǎng)交AG交BC于D，由于G為重心，故D為中點(diǎn)，CG⊥BG，可得DG=$\frac{1}{2}$BC，由重心的性質(zhì)得，AD=3DG，即AD=$\frac{3}{2}$BC，利用余弦定理可得：AC²+AB²=2BD²+2CD²，即b²+c²=5a²，由$\frac{a^2}{cosA}=λbc$，可得λ=$\frac{2{a}^{2}}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$．

解答 解：如圖，連接AG，延長(zhǎng)交AG交BC于D，
由于G為重心，故D為中點(diǎn)，
∵CG⊥BG，∴DG=$\frac{1}{2}$BC，
由重心的性質(zhì)得，AD=3DG，即AD=$\frac{3}{2}$BC，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB，
∵∠ADC+∠BDC=π，CD=BD，
∴AC²+AB²=2BD²+2AD²，
∴AC²+AB²=$\frac{1}{2}$BC²+$\frac{9}{2}$BC²=5BC²，
∴b²+c²=5a²，
∵$\frac{a^2}{cosA}=λbc$，∴λ=$\frac{2{a}^{2}}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{5{a}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、三角形重心性質(zhì)、中線長(zhǎng)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．