【題目】設(shè)拋物線的方程為,其中常數(shù),F是拋物線的焦點(diǎn).
(1)設(shè)A是點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值;
(2)設(shè),,是兩條互相垂直,且均經(jīng)過點(diǎn)F的直線,與拋物線交于點(diǎn)A,B,與拋物線交于點(diǎn)C,D,若點(diǎn)G滿足,求點(diǎn)G的軌跡方程.
【答案】(1)最大值為;(2)
【解析】
(1)求得A的坐標(biāo),設(shè)出過A的直線為y=k(x),k=tanα,聯(lián)立拋物線方程,運(yùn)用判別式為0,求得傾斜角,可得所求最大值;
(2)求得F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),G(x,y),設(shè)l1:y=k(x﹣1),聯(lián)立拋物線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,以及兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,結(jié)合向量的坐標(biāo)表示,以及消元,可得所求軌跡方程.
(1)A是點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),可得,
設(shè)過A的直線為,,
聯(lián)立拋物線方程可得,
由直線和拋物線相切可得,解得,
可取,可得切線的傾斜角為45°,
由拋物線的定義可得,而的最小值為45°,
的最大值為;
(2)由,可得,設(shè),,,,,
設(shè),聯(lián)立拋物線,可得,
即有,,
由兩直線垂直的條件,可將k換為,可得,,
點(diǎn)G滿足,可得,
即為,,
可得,則G的軌跡方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘(如圖),并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個(gè),一排中各個(gè)釘子恰好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆釘子間隔的小球,當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí),由于碰到下一排鐵釘,它將以相等的可能性向左或向右落下,接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙,又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去,在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球.
(Ⅰ)理論上,小球落入4號(hào)容器的概率是多少?
(Ⅱ)一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn),設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓以原點(diǎn)為中心,左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍,直線與橢圓交于點(diǎn)與,且、都在軸上方,滿足;
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線E:y2=4x與圓M:(x3)2+y2=r2(r>0)相交于A,B,C,D四個(gè)點(diǎn).
(1)求r的取值范圍;
(2)設(shè)四邊形ABCD的面積為S,當(dāng)S最大時(shí),求直線AD與直線BC的交點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線:.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與交于,兩點(diǎn),,的中點(diǎn)為,點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】十二生肖,又稱十二屬相,中國(guó)古人拿十二種動(dòng)物來(lái)配十二地支,組成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬十二屬相。現(xiàn)有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同學(xué)一次隨機(jī)抽取一件作為禮物,甲同學(xué)喜歡馬、牛,乙同學(xué)喜歡馬、龍、狗,丙同學(xué)除了鼠不喜歡外其他的都喜歡,則這三位同學(xué)抽取的禮物都喜歡的概率是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若函數(shù)的極大值等于,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),如果存在實(shí)數(shù)使得,那么稱為的線性函數(shù).
(1)下面給出兩組函數(shù),判斷是否分別為的線性函數(shù)?并說明理由;
第一組:
第二組::
(2)設(shè),線性函數(shù)為.若等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),取.線性函數(shù)圖像的最低點(diǎn)為.若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)且.試問是否存在最大的常數(shù),使恒成立?如果存在,求出這個(gè)的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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