Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M（1，0）為線段OA的中點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M任作一條直線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得∠ENM=∠FNM？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過點(diǎn)M（1，0）為線段OA的中點(diǎn)可知b=2，利用$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²-b²=c²，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ） 通過設(shè)存在點(diǎn)N（x₀，0）滿足題設(shè)條件，分EF與x軸不垂直與不垂直兩種情況討論，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ） 由題意可得b=2，
又因?yàn)?\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²-b²=c²，
所以 $a=2\sqrt{2}$，
故所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$；
（Ⅱ） 結(jié)論：在x軸上存在點(diǎn)N（4，0），使得∠ENM=∠FNM．
理由如下：
假設(shè)存在點(diǎn)N（x₀，0）滿足題設(shè)條件，
（1）當(dāng)EF與x軸不垂直時(shí)，設(shè)EF的方程為y=k（x-1）．
則$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$消去y，整理得：（2+k²）x²-2k²x+k²-8=0．
可知△＞0，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}}}{{2+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}-8}}{{2+{k^2}}}$，
${k_{EN}}+{k_{FN}}=\frac{y_1}{{{x_1}-{x_0}}}+\frac{y_2}{{{x_2}-{x_0}}}=\frac{{k（{x_1}-1）}}{{{x_1}-{x_0}}}+\frac{{k（{x_2}-1）}}{{{x_2}-{x_0}}}$=$\frac{{k（{x_1}-1）（{x_2}-{x_0}）+k（{x_2}-1）（{x_1}-{x_0}）}}{{（{x_1}-{x_0}）（{x_2}-{x_0}）}}$，
（x₁-1）（x₂-x₀）+（x₂-1）（x₁-x₀）=2x₁x₂-（1+x₀）（x₁+x₂）+2x₀=$\frac{2（{k}^{2}-8）}{2+{k}^{2}}$-$\frac{2（1+{x}_{0}）{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$+2x₀，
若∠ENM=∠FNM，則k_EN+k_FN=0，$即\;k[{\frac{{2（{k^2}-8）}}{{2+{k^2}}}-\frac{{2（1+{x_0}）{k^2}}}{{2+{k^2}}}+2{x_0}}]=0$，
整理得：k（x₀-4）=0，因?yàn)閗∈R，所以x₀=4；
（2）當(dāng)EF⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知恒有∠ENM=∠FNM，滿足題意；
綜上，在x軸上存在點(diǎn)N（4，0），使得∠ENM=∠FNM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．