Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+cosx，x∈R，
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)x的取值集合；
（2）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，求f（2α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式以及輔助角公式將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)x的取值集合；
（2）根據(jù)條件求出sinα和cosα的值，利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．

解答 解：f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx+cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx
=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值$\sqrt{3}$．
此時(shí)x的取值集合是{x|x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
（2）由（1）知f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴f（α+$\frac{π}{6}$）=）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$+α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$cosα=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴cosα=$\frac{3}{5}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\frac{4}{5}$，
sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$，
cos2α=2cos²α-1=-$\frac{7}{25}$，
∴f（2α）=$\sqrt{3}sin（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{3}{2}$cos2α=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{24}{25}-\frac{3}{2}×\frac{7}{25}$=$\frac{24\sqrt{3}-21}{50}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及二倍角公式的應(yīng)用，利用兩角和差的正弦公式和輔助角公式將三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．