Question

5．已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a+2b=4，則ab的最大值是2．

Answer 1

分析 方法一、由ab=$\frac{1}{2}$a•2b，結(jié)合條件，運(yùn)用基本不等式的變形：mn≤（$\frac{m+n}{2}$）²（m，n＞0，m=n取得等號(hào)），即可得到所求最大值；
方法二、求出a=4-2b，代入ab，轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的二次函數(shù)，配方，即可得到所求最大值．

解答 解法一、由正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a+2b=4，
可得ab=$\frac{1}{2}$a•2b≤$\frac{1}{2}$（$\frac{a+2b}{2}$）²=$\frac{1}{2}$×2²=2．
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2時(shí)，ab取得最大值2．
解法二、正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a+2b=4，
可得a=4-2b（0＜b＜2），
則ab=（4-2b）b=-2（b²-2b）=-2（b-1）²+2，
當(dāng)b=1，a=2時(shí)，ab取得最大值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，運(yùn)用兩種常見(jiàn)方法：基本不等式法和二次函數(shù)求最值，注意最值成立的條件，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．