Question

5．已知等比數列{a_n}的各項都為正數，其前n和為S_n，且a₁+a₇=9，a₄=2$\sqrt{2}$，則S₆=7$\sqrt{2}$+7或7$\sqrt{2}$+14．

Answer 1

分析 由已知數據可得a₁和a₇的方程組，解方程可得a₁和q，再由求和公式可得．

解答 解：∵等比數列{a_n}的各項都為正數，其前n和為S_n，且a₁+a₇=9，a₄=2$\sqrt{2}$，
∴a₁a₇=a₄²=8，∴a₁和a₇為方程x²-9x+8=0的兩根，
解方程可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{7}=8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{{a}_{7}=1}\end{array}\right.$，
當$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{7}=8}\end{array}\right.$時，公比q滿足q⁶=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{1}}$=8，解得q=$\sqrt{2}$，
S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{1×（1-8）}{1-\sqrt{2}}$=7$\sqrt{2}$+7；
當$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{{a}_{7}=1}\end{array}\right.$時，公比q滿足q⁶=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{8}$，解得q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{8×（1-\frac{1}{8}）}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=7$\sqrt{2}$+14
故答案為：7$\sqrt{2}$+7或7$\sqrt{2}$+14

點評 本題考查等比數列的通項公式和求和公式，涉及分類討論的思想，屬基礎題．