Question

一袋中裝有分別標(biāo)記著1，2，3數(shù)字的3個(gè)小球，每次從袋中取出一個(gè)球（每只小球被取到的可能性相同），現(xiàn)連續(xù)取3次球，若每次取出一個(gè)球后放回袋中，記3次取出的球中標(biāo)號最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X，Y，設(shè)ξ=Y-X，則E（ξ）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：設(shè)“從袋中取出一個(gè)標(biāo)有數(shù)字k（k=1，2，3）的球”為事件A，由于每只小球被取到的可能性相同，可得P（A）=

1

3

．
由題意可知：ξ=0，1，2．ξ=0表示三次取得的小球所標(biāo)的數(shù)字X=Y都相同，包括以下3種類型：1，1，1；2，2，2；3，3，3．可得P（ξ=0）=3×(

1

3

)3．
ξ=1表示三次取得的小球所標(biāo)的數(shù)字X、Y滿足Y-X=1，包括以下4種類型：1，1，2；1，2，2；2，3，3；2，2，3．可得P（ξ=1）=4×(

1

3

)3．
ξ=2表示三次取得的小球所標(biāo)的數(shù)字X、Y滿足Y-X=2，利用對立事件的概率可得：P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）．

解答： 解：設(shè)“從袋中取出一個(gè)標(biāo)有數(shù)字k（k=1，2，3）的球”為事件A，由于每只小球被取到的可能性相同，∴P（A）=

1

3

．
由題意可知：ξ=0，1，2．
∵ξ=0表示三次取得的小球所標(biāo)的數(shù)字X=Y都相同，包括以下3種類型：1，1，1；2，2，2；3，3，3．
∴P（ξ=0）=3×(

1

3

)3=

1

9

．
∵ξ=1表示三次取得的小球所標(biāo)的數(shù)字X、Y滿足Y-X=1，包括以下4種類型：1，1，2；1，2，2；2，3，3；2，2，3．
∴P（ξ=1）=4×(

1

3

)3=

4

9

．
∵ξ=2表示三次取得的小球所標(biāo)的數(shù)字X、Y滿足Y-X=2，利用對立事件的概率可得：P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）=1-

1

9

-

4

9

=

4

9

．
∴E（ξ）=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

4

9

=

4

3

．
故答案為

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、相互對立事件的概率計(jì)算公式，屬于中檔題．