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17.某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路l1、l2,海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段.為開發(fā)旅游資源,需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道AB,且直線AB與曲線MPN有且僅有一個公共點P(即直線與曲線相切),如圖所示.若曲線段MPN是函數$y=\frac{a}{x}$圖象的一段,點M到l1、l2的距離分別為8千米和1千米,點N到l2的距離為10千米,以l1、l2分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,設點P的橫坐標為p.
(1)求曲線段MPN的函數關系式,并指出其定義域;
(2)若某人從點O沿公路至點P觀景,要使得沿折線OAP比沿折線OBP的路程更近,求p的取值范圍.

分析 (1)由題意得M(1,8),則a=8,故曲線段MPN的函數關系式為$y=\frac{8}{x}$,可得其定義域;
(2)$P(p,\frac{8}{p})$,設$AB:y-\frac{8}{p}=k(x-p)$與$y=\frac{8}{x}$聯立求出A,B的坐標,即可求出最短長度p的取值范圍.

解答 解:(1)由題意得M(1,8),則a=8,故曲線段MPN的函數關系式為$y=\frac{8}{x}$,(4分)
又得$N(10,\frac{4}{5})$,所以定義域為[1,10].…(6分)
(2)$P(p,\frac{8}{p})$,設$AB:y-\frac{8}{p}=k(x-p)$
由$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{8}{p}=k(x-p)\\ y=\frac{8}{x}\end{array}\right.$得kpx2+(8-kp2)x-8p=0,
△=(8-kp22+32kp2=(kp2+8)2=0,…(8分)
∴kp2+8=0,∴$k=-\frac{8}{p^2}$,得直線AB方程為$y-\frac{8}{p}=-\frac{8}{p^2}(x-p)$,…(10分)
得$A(0,\frac{16}{p})、B(2p,0)$,故點P為AB線段的中點,
由$2p-\frac{16}{p}=2•\frac{{{p^2}-8}}{p}>0$即p2-8>0…(12分)
得$p>2\sqrt{2}$時,OA<OB,
所以,當$2\sqrt{2}<p≤10$時,經點A至P路程最近.(14分)

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題,考查學生分析解決問題的能力,確定函數關系是關鍵.

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