Question

17．某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路l₁、l₂，海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段．為開發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道AB，且直線AB與曲線MPN有且僅有一個公共點P（即直線與曲線相切），如圖所示．若曲線段MPN是函數$y=\frac{a}{x}$圖象的一段，點M到l₁、l₂的距離分別為8千米和1千米，點N到l₂的距離為10千米，以l₁、l₂分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，設點P的橫坐標為p．
（1）求曲線段MPN的函數關系式，并指出其定義域；
（2）若某人從點O沿公路至點P觀景，要使得沿折線OAP比沿折線OBP的路程更近，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數關系式為$y=\frac{8}{x}$，可得其定義域；
（2）$P（p，\frac{8}{p}）$，設$AB：y-\frac{8}{p}=k（x-p）$與$y=\frac{8}{x}$聯立求出A，B的坐標，即可求出最短長度p的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數關系式為$y=\frac{8}{x}$，（4分）
又得$N（10，\frac{4}{5}）$，所以定義域為[1，10]．…（6分）
（2）$P（p，\frac{8}{p}）$，設$AB：y-\frac{8}{p}=k（x-p）$
由$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{8}{p}=k（x-p）\\ y=\frac{8}{x}\end{array}\right.$得kpx²+（8-kp²）x-8p=0，
△=（8-kp²）²+32kp²=（kp²+8）²=0，…（8分）
∴kp²+8=0，∴$k=-\frac{8}{p^2}$，得直線AB方程為$y-\frac{8}{p}=-\frac{8}{p^2}（x-p）$，…（10分）
得$A（0，\frac{16}{p}）、B（2p，0）$，故點P為AB線段的中點，
由$2p-\frac{16}{p}=2•\frac{{{p^2}-8}}{p}＞0$即p²-8＞0…（12分）
得$p＞2\sqrt{2}$時，OA＜OB，
所以，當$2\sqrt{2}＜p≤10$時，經點A至P路程最近．（14分）

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查學生分析解決問題的能力，確定函數關系是關鍵．