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17.某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路l1、l2,海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段.為開發(fā)旅游資源,需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道AB,且直線AB與曲線MPN有且僅有一個公共點(diǎn)P(即直線與曲線相切),如圖所示.若曲線段MPN是函數(shù)y=ax圖象的一段,點(diǎn)M到l1、l2的距離分別為8千米和1千米,點(diǎn)N到l2的距離為10千米,以l1、l2分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p.
(1)求曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域;
(2)若某人從點(diǎn)O沿公路至點(diǎn)P觀景,要使得沿折線OAP比沿折線OBP的路程更近,求p的取值范圍.

分析 (1)由題意得M(1,8),則a=8,故曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式為y=8x,可得其定義域;
(2)Pp8p,設(shè)ABy8p=kxpy=8x聯(lián)立求出A,B的坐標(biāo),即可求出最短長度p的取值范圍.

解答 解:(1)由題意得M(1,8),則a=8,故曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式為y=8x,(4分)
又得N1045,所以定義域?yàn)閇1,10].…(6分)
(2)Pp8p,設(shè)ABy8p=kxp
{y8p=kxpy=8x得kpx2+(8-kp2)x-8p=0,
△=(8-kp22+32kp2=(kp2+8)2=0,…(8分)
∴kp2+8=0,∴k=8p2,得直線AB方程為y8p=8p2xp,…(10分)
A016pB2p0,故點(diǎn)P為AB線段的中點(diǎn),
2p16p=2p28p0即p2-8>0…(12分)
p22時,OA<OB,
所以,當(dāng)22p10時,經(jīng)點(diǎn)A至P路程最近.(14分)

點(diǎn)評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,確定函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵.

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