Question

8．如圖，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D、E分別為CC′，A′B中點，CC′=$\sqrt{3}BC$．求證：
（1）直線EC′∥平面ABD；
（2）直線EC⊥平面ABD．

Answer 1

分析 （1）取AB中點O，連接OE、OD，證明四邊形EODC'為平行四邊形，可得C'E∥OD，即可證明直線EC′∥平面ABD；
（2）連接OC、DE，證明EC⊥OD，AB⊥EC，即可證明直線EC⊥平面ABD．

解答 證明：（1）取AB中點O，連接OE、OD．
∵E、O為A'B，AB中點，∴OE平行且等于$\frac{1}{2}$AA′
又∵C′D平行且等于$\frac{1}{2}$CC′
∴OE平行且等于C′D，
∴四邊形EODC'為平行四邊形，∴C'E∥OD
又∵OD?面ABD，C'E?面ABD，
∴C'E∥面ABD…（6分）
（2）連接OC、DE
∵三棱柱ABC-A'B'C'為正三棱柱，
∴AA'⊥面ABC，
∴EO⊥面ABC
∵AB，OC?面ABC，
∴EO⊥AB，EO⊥OC
∵$EO=\frac{1}{2}CC'=\frac{{\sqrt{3}}}{2}BC=OC$，
∴四邊形EOCD為正方形，∴EC⊥OD
又∵CA=CB，∴AB⊥OC
∵EO、OC是平面EOCC'內的相交直線，∴AB⊥面EOCC'
∵EC?面EOCC'，∴AB⊥EC
∵AB、OD是平面ABD內的相交直線，
∴直線EC⊥平面ABD…（14分）

點評 本題考查線面平行、垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面平行、垂直的判定是關鍵．