Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，對任意n∈N^*，S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{2^n}$+n-3且（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，則實數(shù)p的取值范圍是$（{-\frac{3}{4}，\frac{11}{4}}）$．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式求出首項，寫出n≥2時的遞推式，作差后對n分偶數(shù)和奇數(shù)討論，求出數(shù)列通項公式，可得函數(shù)${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n+1}}-1$（n為正奇數(shù)）為減函數(shù)，最大值為${a}_{1}=-\frac{3}{4}$，函數(shù)${a}_{n}=3-\frac{1}{{2}^{n}}$（n為正偶數(shù)）為增函數(shù)，最小值為${a}_{2}=\frac{11}{4}$．再由（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立求得實數(shù)p的取值范圍．

解答 解：由${S_n}={（-1）^n}{a_n}+\frac{1}{2^n}+n-3$，得${a}_{1}=-\frac{3}{4}$；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$（-1）^{n}{a}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+n-3-（-1）^{n-1}{a}_{n-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}-（n-1）+3$
=$（-1）^{n}{a}_{n}+（-1）^{n}{a}_{n-1}-\frac{1}{{2}^{n}}+1$．
若n為偶數(shù)，則${a}_{n-1}=\frac{1}{{2}^{n}}-1$，∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n+1}}-1$（n為正奇數(shù)）；
若n為奇數(shù)，則${a}_{n-1}=-2{a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n}}+1$=$-2（\frac{1}{{2}^{n+1}}-1）-\frac{1}{{2}^{n}}+1$=$3-\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}=3-\frac{1}{{2}^{n}}$（n為正偶數(shù)）．
函數(shù)${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n+1}}-1$（n為正奇數(shù)）為減函數(shù)，最大值為${a}_{1}=-\frac{3}{4}$，
函數(shù)${a}_{n}=3-\frac{1}{{2}^{n}}$（n為正偶數(shù)）為增函數(shù)，最小值為${a}_{2}=\frac{11}{4}$．
若（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，
則a₁＜p＜a₂，即$-\frac{3}{4}＜p＜\frac{11}{4}$．
故答案為：$（{-\frac{3}{4}，\frac{11}{4}}）$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列通項公式的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．