Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）
（1）求f（x）的最小正周期和對(duì)稱中心；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

2

]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（2）根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）．
∴T=

2π

2

=π，
∴對(duì)稱中心橫坐標(biāo)x應(yīng)該滿足2x+

π

3

=kπ，即x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，此時(shí)y=0，
所以對(duì)稱中心為（

kπ

2

-

π

6

，0）．
（2）∵-

π

3

≤x≤

π

2

，∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，即-

3

≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
則f（x）取值范圍為（-

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性及其求法，利用三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．