Question

函數(shù)f（x）=x²和g（x）=log₃（x+1）的部分圖象如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點O（0，0），A（x₀，y₀）．
（Ⅰ）請指出圖中曲線C₁，C₂分別對應(yīng)哪一個函數(shù)？
（Ⅱ）求證x₀∈（

1

2

，1）；
（Ⅱ）請通過直觀感知，求出使f（x）＞g（x）+a對任何1＜x＜8恒成立時，實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由圖象特征可知，C₁是g（x）=log₃（x+1）的圖象，C₂對應(yīng)f（x）=x²；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x²-log₃（x+1），利用函數(shù)的零點判定定理證明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F(xiàn)（1）=1-log₃2＞0，且由圖象可知，a＜1-log₃2．

解答： 解：（Ⅰ）C₁是g（x）=log₃（x+1）的圖象，
C₂對應(yīng)f（x）=x²；
（Ⅱ）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=x²-log₃（x+1），
∵F（

1

2

）=

1

4

-log₃（

1

2

+1）=log₃2-

3

4

＜0，
F（1）=1-log₃2＞0，
故存在x₀∈（

1

2

，1），使F（x₀）=0，
即x₀是函數(shù)f（x）=x²和g（x）=log₃（x+1）的圖象的交點；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F(xiàn)（1）=1-log₃2＞0，
且由圖象可知，
a＜1-log₃2．

點評：本題考查了冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的區(qū)別及函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于中檔題．